韦达定理

韦达定理（Vieta's formulas）是一个关于多项式方程的根与系数之间关系的数学定理。它通常应用于二次方程及更高次方程的根的关系，尤其在代数方程求解中非常有用。

对于二次方程 \(ax^2 + bx + c = 0\)，韦达定理的内容是：

1. 根的和：设方程的两个根为 \(x_1\) 和 \(x_2\)，那么有\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)

2. 根的积：方程的两个根的积为\(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\)

对于更高次的方程，例如三次方程 \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\)，韦达定理同样适用，但它会涉及更多的根与系数的关系。一般来说，对于 \(n\) 次方程：

• 设方程的根为 \(x_1, x_2, \dots, x_n\)，则根的和、积等可以通过系数来表示。

三次方程例子：

对于三次方程 \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\)，韦达定理给出的关系是：

1. 根的和：\(x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}\)
2. 根的两两乘积和：\(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a}\)
3. 根的积：\(x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}\)

韦达定理的一个重要应用是通过已知方程的系数来推算方程的根的性质，甚至直接求解方程的根。