行列式的两课时内容，其实只回答三个问题：展开式中每一项的符号从哪里来；初等操作下行列式的值如何变化；以及怎样把高阶行列式降阶、化三角。本文把《行列式（一）》与《行列式（二）》合并整理，沿这条线索串起定义、性质、公式与方法，全文只谈概念与思路。
一、逆序数与排列的奇偶性
在一个排列中，若较大的数排在较小的数之前，这两个数就构成一个逆序。排列中逆序的总数称为逆序数，记作 $\tau$（也有记作 $t$ 的）。操作性的数法是：依次看每一个数字，统计排在它前面且比它大的数字个数，再把这些个数相加。
自然序排列 $1\,2\,\cdots\,n$ 的逆序数为 $0$。逆序数为奇数的排列叫奇排列，为偶数的叫偶排列。奇偶性是排列在行列式理论中唯一被关心的属性，因为它直接决定展开项的符号。
二、行列式展开项的符号
$n$ 阶行列式是 $n!$ 项的代数和，每一项都是取自不同行、不同列的 $n$ 个元素的乘积。把一般项写成 $a_{i_1 j_1} a_{i_2 j_2} \cdots a_{i_n j_n}$，其符号为
$$(-1)^{\tau(i_1 i_2 \cdots i_n) + \tau(j_1 j_2 \cdots j_n)}.$$即行标排列与列标排列的逆序数相加，奇数取负、偶数取正。实际操作时通常先把因子按行标自然序重排，此时行标排列逆序数为零，符号只由列标排列决定：$(-1)^{\tau(j_1 j_2 \cdots j_n)}$。两种看法等价，因为交换两个因子会同时改变行标排列与列标排列的奇偶性，二者之和的奇偶性不变。
三、行列式的基本性质
行与列在行列式中地位对称，因此下列性质对行、列同样成立。
| 操作或特征 | 对值的影响 |
|---|---|
| 互换两行（列） | 变号 |
| 某行（列）有公因子 $k$ | 可把 $k$ 提到行列式外 |
| 某行（列）的 $k$ 倍加到另一行（列） | 值不变 |
| 两行（列）相同或成比例 | 值为 $0$ |
| 某行（列）全零 | 值为 $0$ |
其中"互换变号"与"倍加不变"是全部消元操作的依据：前者提醒我们记录符号变化，后者保证制造零元素时不改变值。“成比例为零"可以看作前两条的推论：把一行减去另一行的适当倍数，即得全零行。
另一条性质是按某一行（列）拆分：若某一列的元素都是两项之和，则行列式等于两个行列式之和，其余各列保持不变：
$$\begin{vmatrix} a_1 & b_1+d_1 & c_1 \\ a_2 & b_2+d_2 & c_2 \\ a_3 & b_3+d_3 & c_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{vmatrix}.$$注意拆分每次只作用于一个行（列）；提公因子同样是"逐行（列）“的操作，若每一行都提出因子 $k$，行列式外共乘以 $k^n$。
四、低阶公式与化三角的思路
二阶行列式等于两条对角线乘积之差：
$$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc.$$三阶行列式服从对角线法则：三条"右下方向"对角线上元素乘积取正，三条"左下方向"的取负：
$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}.$$四阶及以上不再适用对角线法则，真正通用的出口是三角形：上三角（以及下三角、对角）行列式等于主对角线元素的乘积，
$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11} a_{22} a_{33},$$$n$ 阶情形同理。于是高阶行列式的基本路线是化三角：利用倍加不变，自左向右逐列把主对角线下方消成零，化为上三角后将对角线元素相乘；途中每互换一次补一个负号，提出过的公因子最后乘回。
围绕这条路线，有两种值得识别的结构：
- 箭型（爪型）：非零元素集中在第一行、第一列与主对角线上，形如一支箭。做法是利用对角线上的元素，通过列（行）倍加把第一行（或第一列）的"箭杆"消成零，从而化为三角。
- 行和相等（列和相等）：每行元素之和为同一个值。把各列全部加到第一列，则第一列元素都等于这个公共和，作为公因子提出后第一列全为 $1$，再逐行相减制造零元素，即化为三角。
两种结构的共同点是：先利用结构特征制造一整列（行）的相同元素或大量零，再交给倍加不变完成收尾。
五、余子式、代数余子式与按行（列）展开
划去 $a_{ij}$ 所在的行与列，剩下的 $n-1$ 阶行列式称为 $a_{ij}$ 的余子式，记作 $M_{ij}$；带上位置符号即得代数余子式
$$A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}.$$展开定理指出：行列式等于任一行（列）的各元素与其自身代数余子式乘积之和，
$$D = a_{i1} A_{i1} + a_{i2} A_{i2} + \cdots + a_{in} A_{in} \quad (\text{按第 } i \text{ 行展开}),$$$$D = a_{1j} A_{1j} + a_{2j} A_{2j} + \cdots + a_{nj} A_{nj} \quad (\text{按第 } j \text{ 列展开}).$$展开一次降一阶，因此总是挑零最多的行（列）下手；若没有零，就先利用倍加不变在某行（列）制造零再展开。展开与化三角并不对立：造零是展开的准备，展开后剩下的低阶行列式再交回三角化或低阶公式。
同样重要的推论是：某一行元素乘另一行对应代数余子式之和为零，
$$a_{i1} A_{k1} + a_{i2} A_{k2} + \cdots + a_{in} A_{kn} = 0 \quad (i \neq k),$$列的版本同理。原因在于该和式相当于把第 $k$ 行换成第 $i$ 行后所得行列式的展开式，而两行相同的行列式为零。把这个事实反过来读，就得到处理余子式线性组合的方法：形如 $\sum_j c_j A_{ij}$ 的组合，可以看作将原行列式第 $i$ 行替换为 $c_1, c_2, \cdots, c_n$ 后按该行展开的结果；组合是否为零、等于哪个行列式的值，由系数串与其余各行的关系决定。
六、范德蒙行列式
范德蒙行列式的形态辨识度很高：首行全为 $1$，往下各行依次是参数的平方、立方直至 $n-1$ 次幂，也就是每一列都是幂次从 $0$ 到 $n-1$ 的等比数列：
$$V_n = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i).$$右端是全部"后参数减前参数"差式的乘积，共 $\frac{n(n-1)}{2}$ 个因子；四阶情形展开即 $(x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_4-x_1)(x_3-x_2)(x_4-x_2)(x_4-x_3)$。由此立即得到：值为零当且仅当有两个参数相等；若等比数列出现在行上（即上述形态的转置），值不变。使用时先核对形态与列的次序，再按"后减前"的顺序写出乘积，切勿颠倒相减方向。
小结
逆序数决定符号，符号贯穿行列式的定义；五条性质给出消元的合法性，其中倍加不变是核心；低阶公式与三角形式是计算的终点，箭型与行和相等是通往终点的两条捷径；余子式与展开定理提供降阶工具，异行余子式之和为零则接管余子式的线性组合；范德蒙把特殊结构的行列式直接写成差式乘积。把"符号—性质—化三角—展开"记成一条链，行列式两课时的内容就闭环了。