行列式本质上是一个数值，而矩阵是一张数表——这是进入矩阵章节首先要划清的界限。本文围绕「矩阵」这一章的核心内容：先辨析矩阵与行列式的区别，再介绍矩阵的三种基本运算与四类常见矩阵，最后归纳方阵的行列式计算公式，以及由矩阵多项式关系构造逆矩阵的一般思路。全文只谈概念、性质与方法。
一、矩阵与行列式：数表 vs 数值
矩阵是由 $m$ 行 $n$ 列个数排成的数表，记作 $A_{m\times n}$ 或 $(a_{ij})_{m\times n}$，其中 $a_{ij}$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。当 $m=n$ 时，称为 $n$ 阶方阵。矩阵常用大写字母 $A$、$B$、$C$ 表示；两个矩阵相等，要求它们同型且对应元素全部相等。行列式则是按特定法则从方阵算出的一个数值。两者的区别可以归纳为：
| 比较维度 | 行列式 | 矩阵 |
|---|---|---|
| 本质 | 一个数值 | 一张数表 |
| 形状 | 必须是 $n\times n$ | $m\times n$，$m$、$n$ 可等可不等 |
| 乘以数 $k$ 的含义 | 某一行（列）乘以 $k$ | 每一个元素都乘以 $k$ |
| 加减运算 | 数值之间的运算 | 只有同型矩阵才能加减，对应元素相加减 |
再强调两点：其一，只有方阵才有行列式，方阵 $A$ 的行列式记作 $|A|$，它是一个数，而 $A$ 本身仍是数表；其二，两者记号不同，行列式用竖线，矩阵用圆括号或方括号，书写时不能混用。
二、矩阵的三种基本运算
2.1 加减法：只合同型矩阵
矩阵加减要求两个矩阵是同型矩阵（行数、列数完全相同），结果由对应元素相加减得到：
$$(A\pm B)_{ij}=a_{ij}\pm b_{ij}$$加法满足交换律 $A+B=B+A$ 与结合律 $(A+B)+C=A+(B+C)$。元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作 $O$，显然 $A+O=A$。
2.2 数乘：每个元素都要乘
数 $k$ 乘以矩阵 $A$，是把 $A$ 的每一个元素都乘以 $k$，记作 $kA$。这与行列式的数乘（只乘某一行或某一列）截然不同。常用运算律：
$$k(A+B)=kA+kB,\qquad (k+l)A=kA+lA,\qquad (kl)A=k(lA)$$2.3 乘法：前行乘后列
矩阵乘法是最核心、也最容易出错的运算。设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵、$B$ 为 $n\times s$ 矩阵，则乘积 $C=AB$ 是 $m\times s$ 矩阵：
$$A_{m\times n}\,B_{n\times s}=C_{m\times s}$$乘法有意义的前提是：前行矩阵的列数等于后列矩阵的行数。动手相乘之前，应先核对维度是否匹配；结果的行数由前矩阵决定，列数由后矩阵决定。乘积中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素，由「前行乘后列」得到——取 $A$ 的第 $i$ 行与 $B$ 的第 $j$ 列，对应元素相乘再求和：
$$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{in}b_{nj}$$矩阵乘法不满足交换律：一般 $AB\neq BA$，甚至 $AB$ 与 $BA$ 之一可能根本无法相乘；也不满足消去律：由 $AB=AC$ 且 $A\neq O$，推不出 $B=C$。因此一些熟悉的展开式一般不再成立：
$$(A+B)^2\neq A^2+2AB+B^2,\qquad (A+B)(A-B)\neq A^2-B^2$$除非恰好有 $AB=BA$。不过，结合律与分配律依然成立：
$$(AB)C=A(BC),\qquad A(B+C)=AB+AC,\qquad (B+C)A=BA+CA$$三、四类常见矩阵
3.1 转置矩阵
把 $A$ 的行变成列、列变成行，得到转置矩阵 $A^{\mathrm T}$，其第 $i$ 行第 $j$ 列元素就是原矩阵第 $j$ 行第 $i$ 列的元素。转置的运算律为：
$$(A^{\mathrm T})^{\mathrm T}=A,\quad (A+B)^{\mathrm T}=A^{\mathrm T}+B^{\mathrm T},\quad (kA)^{\mathrm T}=kA^{\mathrm T},\quad (AB)^{\mathrm T}=B^{\mathrm T}A^{\mathrm T}$$注意乘积转置后次序颠倒，这正是矩阵乘法不可交换的体现。
3.2 伴随矩阵
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$A_{ij}$ 是行列式 $|A|$ 中元素 $a_{ij}$ 的代数余子式。伴随矩阵 $A^{*}$ 由这些代数余子式构成，但排列规则要特别小心：$A_{ij}$ 放在第 $j$ 行第 $i$ 列，即伴随矩阵是代数余子式矩阵的转置：
$$A^{*}=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\end{pmatrix}$$伴随矩阵最重要的性质是：
$$AA^{*}=A^{*}A=|A|E$$它是连接伴随矩阵与逆矩阵的桥梁。还要注意，伴随矩阵只对方阵定义，因为代数余子式必须依托方阵的行列式才有意义。
3.3 单位矩阵
单位矩阵 $E$ 是主对角线元素全为 $1$、其余元素全为 $0$ 的方阵，作用相当于数乘运算中的 $1$：对同阶方阵 $A$，恒有
$$AE=EA=A$$3.4 逆矩阵
对 $n$ 阶方阵 $A$，若存在同阶方阵 $B$ 使得
$$AB=BA=E$$则称 $A$ 可逆，$B$ 称为 $A$ 的逆矩阵，记作 $A^{-1}$；逆矩阵若存在则唯一。
可逆的充要条件是 $|A|\neq 0$（这样的方阵也称非奇异矩阵）。可逆时，逆矩阵可以用伴随矩阵表示：
$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{*}$$这个公式正是由 $AA^{*}=|A|E$ 两边除以非零数 $|A|$ 得到的。常用的逆矩阵运算律还有：
$$(A^{-1})^{-1}=A,\qquad (kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}\ (k\neq 0),\qquad (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$$乘积求逆同样要颠倒次序，再次提醒我们矩阵乘法不满足交换律。
四、方阵的行列式计算公式
设 $A$、$B$ 均为 $n$ 阶方阵，则有以下公式：
- $|A^{\mathrm T}|=|A|$：转置不改变行列式的值；
- $|kA|=k^{n}|A|$：数乘作用于每个元素，相当于 $n$ 行各乘一次 $k$，故提出的是 $k^n$；
- $|AB|=|A||B|$：乘积的行列式等于行列式的乘积；
- $|A^{-1}|=\dfrac{1}{|A|}$：对 $AA^{-1}=E$ 两边取行列式即得；
- $|A^{*}|=|A|^{n-1}$：对 $AA^{*}=|A|E$ 两边取行列式即得。
两个易错点值得单独提醒：一是 $|kA|=k^{n}|A|$ 而不是 $k|A|$，这正对应前文「矩阵数乘」与「行列式数乘」的含义差异；二是行列式对矩阵加法没有可加性，一般 $|A+B|\neq |A|+|B|$。另外，这些公式都以「方阵」为前提，非方阵没有行列式，自然谈不上使用它们。
五、由矩阵多项式关系构造逆矩阵的一般思路
除了伴随矩阵公式，另一类常见手段是利用矩阵满足的多项式关系，直接「凑」出逆矩阵。一般步骤是：
- 移项：从 $A$ 满足的多项式等式出发，把常数项移到等号一侧，使另一侧成为非零常数乘以 $E$；
- 因式分解：把含 $A$ 的多项式部分分解为两个矩阵表达式的乘积，其中一个恰为要求逆的目标表达式；
- 化归：两边同除以该非零常数，化为「目标表达式 × 另一表达式 $=E$」的形式，则「另一表达式」就是目标表达式的逆矩阵。
写成一般模板：若能由已知关系整理出
$$(A+aE)(A+bE)=cE\qquad(c\neq 0)$$则有
$$(A+aE)^{-1}=\frac{1}{c}(A+bE)$$需要注意：常数 $c$ 必须非零，否则无法除以它，也谈不上可逆；另外，矩阵乘法一般不满足交换律，但 $A$、$E$ 以及 $A$ 的多项式彼此之间是可交换的，因此这类多项式可以像普通多项式一样展开与分解。
小结
矩阵一章的核心可以压缩成几句话：矩阵是数表，方阵才有行列式；加减要求同型，数乘作用于每个元素，乘法看维度、讲次序，「前行乘后列」；转置、伴随、单位、逆是最常用的四类矩阵，$AA^{*}=|A|E$ 与 $A^{-1}=A^{*}/|A|$ 是贯穿其中的关键纽带；方阵的行列式公式与多项式关系凑逆法，则是后续章节反复使用的两件工具。把这些关系理顺，秩、线性方程组与特征值的学习就有了稳固的地基。