矩阵这一章里，行列式给出"一个数"，而初等行变换给出"一套动作"。把矩阵一步步化简成规整的形态，逆矩阵、矩阵方程的解、矩阵的秩都能从这套动作里直接读出来。本篇围绕课时四的三条主线展开：初等行变换本身、用它求逆与解矩阵方程、以及化简后得到的不变量——秩。
一、三类初等行变换
初等行变换只作用于矩阵的行，共有三类：
| 变换 | 记号 | 含义 |
|---|---|---|
| 对调两行 | $r_i \leftrightarrow r_j$ | 交换第 $i$ 行与第 $j$ 行 |
| 数乘某行 | $k r_i\ (k\neq 0)$ | 第 $i$ 行整体乘以非零常数 $k$ |
| 倍加 | $r_i + k r_j$ | 把第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行 |
三点值得记住：数乘的系数必须非零，否则该行信息被抹掉；倍加是"加到另一行"，被借用的行本身不变；每一类变换都可逆，即都能用同类型变换还原回去。正因为可逆，初等行变换不改变矩阵所携带的核心信息——方程组的解、矩阵的秩都保持不变，这也是后面一切方法的根基。化简时通常把所用变换写在箭头上方，便于回查。还需区分：初等行变换与初等列变换是两套独立操作，本篇只使用行变换，因为求逆、解方程与求秩的增广流程都建立在"左乘"这一侧。
二、行阶梯形与行最简形
行变换的目标形态有两种。
行阶梯形满足：若存在全零行，则全零行集中在最下方；每个非零行的第一个非零元素称为主元，自上而下主元所在列依次右移，形如阶梯。阶梯形只要求"形状"，不要求主元的取值，因此同一个矩阵可以化出不同的阶梯形——阶梯形不唯一。
行最简形在阶梯形之上再加两条：每个主元都等于 $1$；主元所在列的其余元素全为 $0$。这两条把形态彻底钉死，因此最简形唯一。
| 形态 | 主元要求 | 主元列其余元素 | 唯一性 |
|---|---|---|---|
| 行阶梯形 | 非零即可 | 无要求 | 不唯一 |
| 行最简形 | 必须为 $1$ | 全为 $0$ | 唯一 |
实践中的路线是：先用对调与倍加消出阶梯形，再自下而上把主元归一、并清掉主元列上方的元素，得到最简形。求秩只需阶梯形，求逆与解方程则通常要走到最简形。唯一性带来的好处是：最简形可以作为矩阵的"标准指纹"，两个矩阵是否行等价、方程组解的结构，都能在最简形上直接读出；而阶梯形虽不唯一，其主元个数却是确定的，这正是下一节秩的来源。
三、求逆矩阵
二阶情形有口诀公式。 设 $A=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}$，则
$$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\ -c&a\end{pmatrix},$$即"主对调，次反号，除以值"：主对角线 $a,d$ 互换，副对角线 $b,c$ 变号，再整体除以行列式 $ad-bc$（要求 $ad-bc\neq 0$）。
一般情形用增广矩阵。 把 $A$ 与单位阵 $E$ 并排拼成 $(A\mid E)$，只施以初等行变换：
$$(A\mid E)\ \xrightarrow{\ \text{初等行变换}\ }\ (E\mid A^{-1}).$$左半被化成 $E$ 时，右半自然就是 $A^{-1}$。原理在于：行变换等价于左乘一串可逆矩阵，其乘积恰为 $A^{-1}$，它同时作用在右半的 $E$ 上便留下 $A^{-1}$。注意全程只能用行变换，不能混入列变换；若左半化不出 $E$（出现全零行），说明 $A$ 不可逆。
四、用初等行变换解矩阵方程
求逆的增广技巧可以直接推广到矩阵方程。对 $AX=B$（$A$ 可逆），不必先单独求出 $A^{-1}$ 再相乘，而是把 $B$ 放在右半一起化：
$$(A\mid B)\ \xrightarrow{\ \text{初等行变换}\ }\ (E\mid A^{-1}B),$$右半即为解 $X=A^{-1}B$。
遇到含未知矩阵的等式，先做代数整理：把含未知矩阵的项移到同一侧，合并后按乘法方向提取公因子，化成"系数矩阵 $\times$ 未知矩阵 $=$ 已知矩阵"的标准形 $CX=D$，再对 $(C\mid D)$ 套用上面的增广流程。提取公因子时要特别注意矩阵乘法没有交换律：未知矩阵在右侧就整体右提，在左侧就整体左提。整个过程中系数矩阵必须位于未知矩阵左侧，且只做行变换。
五、矩阵的秩：数主元
把矩阵用初等行变换化成行阶梯形后，主元的个数就是矩阵的秩，记作 $R(A)$。由于行变换不改变秩，也不必走到最简形，阶梯形的主元数已足够。秩刻画的是矩阵中"真正独立"的行（列）的数目：全零行不贡献主元，能被其它行线性表示的行在消元后也会变成零行。当 $R(A)$ 达到 $\min\{m,n\}$ 时称矩阵满秩；对方阵而言，满秩与可逆是同一件事。
六、秩的性质与不等式
设矩阵尺寸使运算有意义，常用结论如下：
- 范围：$0\le R(A_{m\times n})\le \min\{m,n\}$。
- 可逆相乘不变秩：若 $P,Q$ 可逆，则 $R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)$。
- 拼块：$\max\{R(A),R(B)\}\le R(A,B)\le R(A)+R(B)$。
- 和：$R(A+B)\le R(A)+R(B)$。
- 积的上界：设 $A$ 为 $m\times n$、$B$ 为 $n\times s$，则 $R(AB)\le \min\{R(A),R(B)\}$。
- Sylvester 不等式（积的下界）：$R(AB)\ge R(A)+R(B)-n$，其中 $n$ 是 $A$ 的列数（即 $B$ 的行数）。
- 零积：若 $AB=0$，则 $R(A)+R(B)\le n$。
拼块不等式的左端说明合并后的矩阵至少保留原来任一矩阵的独立行，右端说明独立行总数不会超过两者之和。最后一条零积结论可由 Sylvester 不等式直接看出：$AB=0$ 时 $R(AB)=0$，代入下界即得 $R(A)+R(B)\le n$。这些不等式给出的是秩的"边界"，配合"可逆相乘不变秩"，往往能在不做具体消元的情况下锁定秩的取值。
七、伴随矩阵的秩
伴随矩阵 $A^{*}$ 的秩由 $A$ 的秩分三档决定（$A$ 为 $n$ 阶方阵）：
| $R(A)$ | $R(A^{*})$ |
|---|---|
| $R(A)=n$ | $n$ |
| $R(A)=n-1$ | $1$ |
| $R(A)\lt n-1$ | $0$ |
直观上，$A$ 满秩时 $A^{*}$ 也满秩；$A$ 的秩恰缺 $1$ 时，至少还有一个非零的 $n-1$ 阶子式，故 $A^{*}\neq 0$ 但秩被压到 $1$；$A$ 的秩缺得更多时，所有 $n-1$ 阶子式全为零，$A^{*}$ 成为零矩阵。判断时只需把 $R(A)$ 与 $n-1$ 比较，落在哪一档即得结论。
小结
初等行变换是"动作"，阶梯形与最简形是动作的"终点形态"，逆矩阵与矩阵方程的解是终点右半读出的结果，秩则是终点处主元的个数。记住阶梯形不唯一而最简形唯一、增广化简只用行变换、以及秩的那几条不等式与伴随矩阵的三档结论，课时四的骨架就完整了。