矩阵作用在一个向量上，通常会把它既旋转又拉伸，方向随之改变。但总有一些特殊方向，矩阵落在它们身上时只改变长度、不改变方向——这些方向就是特征向量，对应的伸缩倍数就是特征值。本篇围绕特征值与特征向量的定义与求法、相似对角化、实对称矩阵的正交对角化展开，最后整理特征值的常用性质，把这一章的核心串成一条清晰的线。
一、特征值与特征向量的定义
设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，若存在数 $\lambda$ 和非零向量 $\alpha$，使得
$$A\alpha = \lambda\alpha \qquad (\alpha \neq 0)$$则称 $\lambda$ 为 $A$ 的特征值，$\alpha$ 为 $A$ 对应于 $\lambda$ 的特征向量。这里 $\alpha \neq 0$ 是硬性前提：零向量对任何 $\lambda$ 都满足等式，没有研究价值，所以定义里必须把它排除。还要分清一点：特征值 $\lambda$ 本身可以为零，但特征向量绝不能为零；属于同一特征值的全部特征向量，恰好就是对应齐次方程组基础解系的所有非零线性组合。
把等式移项可得 $(A-\lambda E)\alpha = 0$，这是一个以 $\alpha$ 为未知向量的齐次线性方程组。它要存在非零解，系数矩阵就必须是奇异的，于是行列式为零：
$$|A - \lambda E| = 0$$这就是特征方程。左端 $|A-\lambda E|$ 展开后是关于 $\lambda$ 的 $n$ 次多项式（称为特征多项式），特征方程的根便是 $A$ 的全部特征值。换句话说，求特征值就是求这个多项式的根。
二、求特征值与特征向量的步骤
整个求解过程可以固定为两步，思路非常程式化：
- 求特征值：解特征方程 $|A-\lambda E|=0$，得到全部根 $\lambda_1,\lambda_2,\dots$（重根按重数计）。
- 求特征向量：对每一个 $\lambda_i$，解齐次方程组 $(A-\lambda_i E)x=0$，求出它的基础解系；基础解系的任意非零线性组合，就是 $\lambda_i$ 对应的全部特征向量。
需要特别留意重特征值的情形。若 $\lambda_i$ 是 $k$ 重根，它对应的基础解系所含向量个数为 $n-R(A-\lambda_i E)$。要想后续能够对角化，这个个数必须达到 $k$，也就是重特征值要"配齐"足够多的线性无关特征向量；一旦基础解系的向量个数少于重数，就会出现缺额，直接影响能否对角化。
三、相似对角化
所谓对角化，就是找一个可逆矩阵 $P$，使 $P^{-1}AP$ 成为对角矩阵 $\Lambda$。
充要条件：$n$ 阶矩阵 $A$ 拥有 $n$ 个线性无关的特征向量。
构造方法很直接：把这 $n$ 个线性无关特征向量 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$ 依次作为列，拼成矩阵
$$P = (\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)$$则有
$$P^{-1}AP = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)$$这里有一个容易忽视的细节：对角线上特征值的排列顺序，必须与 $P$ 中特征向量的列顺序一一对应，谁在第几列，它对应的特征值就落在对角线的第几个位置。
结合上一节的结论可知：单根天然贡献一个线性无关特征向量，能否对角化关键就看每个重特征值是否都配齐了与其重数相等的线性无关特征向量。只要有一个重根"缺额"，$A$ 就不能相似对角化。
四、实对称矩阵的正交相似对角化
实对称矩阵（满足 $A^T=A$）具备一般矩阵没有的好性质：它一定可以对角化，而且能用正交矩阵来完成对角化。它之所以总能凑齐 $n$ 个线性无关特征向量，是因为每个重特征值都必然配齐与其重数相等的特征向量，绝不会像一般矩阵那样出现缺额。
支撑这一结论的核心性质有两条：
- 不同特征值对应的特征向量天然正交，彼此之间无需任何处理；
- 同一特征值内部的多个特征向量未必正交，需要用施密特正交化把它们改造成正交向量组。
据此，正交相似对角化的步骤为：
- 求特征值；
- 求各特征值对应的基础解系；
- 正交化：只对同一特征值内部的向量做施密特正交化（不同特征值之间已经正交，跳过）；
- 单位化：把每个向量都除以自己的长度，化为单位向量。
施密特正交化的一般公式如下（设同一特征值下待正交的向量组为 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$）：
$$\beta_1=\alpha_1,\qquad \beta_k=\alpha_k-\sum_{i=1}^{k-1}\frac{\langle\alpha_k,\beta_i\rangle}{\langle\beta_i,\beta_i\rangle}\,\beta_i$$其中 $\langle\cdot,\cdot\rangle$ 表示向量内积。再单位化 $\eta_i=\dfrac{\beta_i}{\|\beta_i\|}$，以这些单位正交向量为列构成正交矩阵 $Q=(\eta_1,\dots,\eta_n)$，它满足 $Q^TQ=E$，于是
$$Q^{-1}AQ = Q^{T}AQ = \Lambda$$正交矩阵最大的便利在于求逆等于转置，即 $Q^{-1}=Q^T$，无需求逆运算即可写出对角化结果。
五、特征值的性质
设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的全部特征值为 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$，则有两条最常用的关系：
- 和等于迹：$\lambda_1+\lambda_2+\dots+\lambda_n = a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}=\operatorname{tr}(A)$，即特征值之和等于主对角线元素之和；
- 积等于行列式：$\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n = |A|$，即特征值之积等于矩阵的行列式。
这两条关系常用来快速校验特征值是否求全、求对，或在已知部分特征值时反推矩阵的迹与行列式。
此外，若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则由 $A$ 经过各种运算得到的新矩阵，其特征值会随之发生规律性的变化（对应的特征向量保持不变）：
| 矩阵 | 特征值 |
|---|---|
| $kA$ | $k\lambda$ |
| $A^2$ | $\lambda^2$ |
| $aA+bE$ | $a\lambda+b$ |
| $A^m$ | $\lambda^m$ |
| $A^{-1}$ | $\dfrac{1}{\lambda}$ |
| $A^{*}$ | $\dfrac{\lvert A\rvert}{\lambda}$ |
表中 $A^{-1}$ 与 $A^{*}$ 要求 $A$ 可逆，即 $\lambda\neq 0$。这张表的内在规律是：对矩阵做数乘、幂或多项式运算，特征值就做同样的运算；求逆则取倒数；而伴随矩阵满足 $A^{*}=|A|A^{-1}$，故其特征值为 $|A|/\lambda$。掌握这条主线，就不必死记每一行。
小结
特征值与特征向量刻画了矩阵作用下"方向不变"的特殊方向，求解遵循"特征方程求根 → 齐次方程组求基础解系"的固定流程。能否相似对角化，取决于是否存在 $n$ 个线性无关特征向量，重特征值必须配齐与重数相等的向量个数。实对称矩阵更进一步，可用正交矩阵对角化，只需在同一特征值内部施密特正交化、再统一单位化即可。最后记住"和为迹、积为行列式"以及特征值随矩阵运算的变化表，这一章的脉络就完整了。