线性代数的收官之处，常常落在"二次型"上。它一头连着我们熟悉的多项式，另一头连着矩阵、特征值与正交变换。本篇不铺陈具体计算，只把二次型的概念骨架梳理清楚：怎样写成矩阵、秩从何而来、如何用正交变换化标准形，以及怎样判断正定。
一、二次型及其矩阵表示
所谓二次型，就是只含二次项的齐次多项式——每一项的次数都恰好是二，要么是一个变量的平方，要么是两个变量的乘积。含有 $n$ 个变量的二次型可以统一写成
$$f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}\,x_i x_j,\qquad a_{ij}=a_{ji}.$$若把变量排成列向量 $x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)^{T}$，把系数排成矩阵 $A=(a_{ij})$，上式就浓缩成一个极其紧凑的记号：
$$f(x) = x^{T} A x.$$这里的 $A$ 必须是对称矩阵，即 $A^{T}=A$。以三个变量为例，二次型的一般面貌是
$$f = a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + a_{33}x_3^2 + 2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3 + 2a_{23}x_2x_3,$$对应的矩阵为
$$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{12} & a_{22} & a_{23}\\ a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{pmatrix}.$$可以看到，交叉项前面天然带着系数 $2$，这正是下一节"取一半"规则的来源。
二、对称矩阵 A 的写法规则
把一个二次型翻译成矩阵，只需记住两条对应关系：
| 项的类型 | 在多项式中的样子 | 放入矩阵 $A$ 的位置 |
|---|---|---|
| 平方项 | $x_i^2$ 的系数 | 主对角元 $a_{ii}$，原样照搬 |
| 交叉项 | $x_i x_j\ (i\neq j)$ 的系数 $c_{ij}$ | 对称的两个位置 $a_{ij}=a_{ji}=\dfrac{c_{ij}}{2}$ |
为什么交叉项要"劈成两半"？因为在展开 $x^{T}Ax$ 时，$x_i x_j$ 这一项会被 $a_{ij}$ 和 $a_{ji}$ 各贡献一次，合计为 $a_{ij}x_ix_j+a_{ji}x_jx_i=2a_{ij}x_ix_j$。要让还原后的系数等于原来的 $c_{ij}$，就必须令 $a_{ij}=a_{ji}=c_{ij}/2$。
这条规则保证了对称矩阵的写法是唯一的：平方项系数落在主对角线上，交叉项系数的一半落在关于主对角线对称的两个非对角位置上。反过来，任给一个对称矩阵，也能唯一地还原出一个二次型。于是"二次型"与"对称矩阵"之间建立了一一对应，讨论二次型就等价于讨论它的矩阵。
三、二次型的秩
既然二次型与对称矩阵一一对应，二次型的秩就直接定义为它的矩阵 $A$ 的秩，记作 $R(A)$。求秩时，把 $A$ 当作普通矩阵处理即可：对它作初等行变换化为行阶梯形，非零行的个数就是二次型的秩。换句话说，秩把二次型里"有效"的方向个数提取了出来——秩越小，化简后能保留下来的独立平方项就越少。它只取决于矩阵 $A$ 本身，与变量如何命名、如何排列无关，是后续化标准形时判断非零系数个数的依据。
四、用正交变换化标准形
化标准形的目标，是消去所有交叉项，让二次型只剩下平方项之和。做法是引入一个正交变换 $x=Qy$，其中 $Q$ 是正交矩阵，满足 $Q^{T}Q=E$，也即 $Q^{-1}=Q^{T}$。代入后
$$f = x^{T}Ax = (Qy)^{T}A(Qy) = y^{T}(Q^{T}AQ)y.$$由于实对称矩阵一定能被正交对角化，$Q^{T}AQ=\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n)$，于是
$$f = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \cdots + \lambda_n y_n^2.$$这就是标准形，而平方项的系数恰好是 $A$ 的特征值。之所以能这样化简，根本原因在于实对称矩阵的特征值都是实数，且属于不同特征值的特征向量必定正交，因此一定能找到一组正交的单位特征向量把 $A$ 对角化。正交变换相当于对坐标系作旋转或反射，不改变向量的长度，这是它比一般可逆变换更"温和"的地方。完整的操作流程分为五步：
- 写矩阵：按第二节的规则写出二次型的对称矩阵 $A$。
- 求特征值：解特征方程 $|\lambda E - A|=0$，得到全部特征值 $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$（重根按重数计）。
- 求基础解系：对每个特征值 $\lambda_i$，解齐次线性方程组 $(\lambda_i E - A)x=0$，求出对应的特征向量，即基础解系。
- 正交化：不同特征值对应的特征向量本就相互正交，无需处理；只有当某个特征值是重根、其基础解系内部不正交时，才用施密特正交化把这组向量改造为正交向量组。
- 单位化：把得到的正交特征向量逐一除以自己的长度，化为单位向量 $e_1,e_2,\ldots,e_n$，再按列拼成正交矩阵 $Q=(e_1,e_2,\ldots,e_n)$。
最后令 $x=Qy$ 即得标准形。需要留意的是，$Q$ 中列向量的排列顺序要与标准形里特征值的顺序一一对应，谁排在第几列，它的特征值就落在第几个平方项上。
五、顺序主子式
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，依次取它的前 $k$ 行与前 $k$ 列交叉处的元素，构成一个 $k$ 阶子式，称为 $A$ 的 $k$ 阶顺序主子式，记作 $\Delta_k$。“顺序"二字强调的是从左上角开始、连续地取前若干行与前若干列，而不是任意挑选。前几个顺序主子式写出来就是
$$\Delta_1=a_{11},\qquad \Delta_2=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix},\qquad \Delta_3=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix},$$一直到 $\Delta_n=|A|$ 为止。它们都是可以直接由矩阵元素算出的行列式。
六、正定二次型与正定矩阵
如果对任意非零向量 $x\neq 0$，二次型的值恒为正，即 $f(x)=x^{T}Ax\gt 0$，就称 $f$ 为正定二次型，对应的对称矩阵 $A$ 称为正定矩阵。正定是一个很强的整体要求：它不是在某个点取正值，而是在除原点外的所有方向上都取正值，刻画的是"这个二次型永远为正"这一性质。
判断正定有一个干净利落的充要条件：$A$ 的各阶顺序主子式全部大于零，也就是
$$\Delta_1>0,\quad \Delta_2>0,\quad \cdots,\quad \Delta_n>0.$$只要从一阶到 $n$ 阶逐个检验，全部为正即可断定正定；若中途出现非正的值，则不正定。换个角度看，由第四节的标准形 $f=\sum_i \lambda_i y_i^2$ 可知，正定也等价于 $A$ 的特征值全为正——两条判据一个落在行列式上、一个落在特征值上，彼此呼应。
小结
二次型的核心是对称矩阵：平方项系数上主对角线、交叉项系数取一半放对称位置，二次型的秩就是 $R(A)$。用正交变换 $x=Qy$ 化标准形，按"写矩阵、求特征值、求基础解系、正交化、单位化"五步推进，标准形的系数正是特征值。最后，顺序主子式提供了正定性的判据——各阶顺序主子式全大于零，二次型即正定。把这条从"多项式"到"矩阵"再到"特征值与行列式"的线索串起来，二次型的知识结构也就清晰了。